FÍSICA GRACELI TENSORIAL QUÂNTICA.

equação Graceli  quântica []  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

 

equação Graceli  tensorial quântica [1]   [DR] =            .=  =

 = tensor energia momentum

 = tensor quântico de Graceli.

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

 

    G  [DR] =             =

 G  [DR] =          =

EQUAÇÃO QUÂNTICA TENSORIAL GRACELI.

  G  [DR] =            .= 

G  [DR]  = É O TENSOR   GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

G  [DR]  = É O TENSOR   GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

     G  [DR] =             =

 G  [DR] =         =

G  [DR]  = É O TENSOR   GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

G  [DR]  = É O TENSOR   GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

    ] ω  , ,   =

A Teoria do Funcional da Densidade (do inglês, Density Functional Theory, DFT) é uma das mais populares teorias da mecânica quântica utilizada para descrever propriedades eletrônicas na física do estado sólido, química quântica, ciência dos materiais, bioquímica, biologia, nano-sistemas e sistemas em escala atômica. Com essa teoria, as propriedades de um sistema com muitos elétrons podem ser determinadas aplicando funcionais, funções que recebem como argumento uma outra função, sobre a densidade eletrônica, o que origina o nome Teoria do Funcional da Densidade. A DFT é um dos métodos mais versáteis disponíveis em física da matéria condensada, física computacional e química computacional devido a generalidade de seus fundamentos e a flexibilidade de implementação. Os cálculos de DFT são ab initio (de primeiros princípios) não usam parâmetros experimentais ou empíricos e têm grande impacto na ciência dos materiais por seu poder preditivo com um custo computacional praticável.

Visão geral[editar | editar código-fonte]

O tratamento quântico completo de um sistema de muitos elétrons, sob um potencial externo, deve considerar a repulsão coulombiana entre cada par de elétrons e a interação de spin. Esse problema não tem solução analítica, já que a função de onda total deve depender da distância entre todos os elétrons.

O método de Hartree-Fock (1930) é uma das teorias que busca resolver esse problema utilizando a função de onda como variável fundamental e apesar de apresentar resultados precisos, envolve um alto custo computacional^[1]. Já o modelo de Thomas-Fermi (1927), desenvolvido independentemente por Llewellyn Thomas e Enrico Fermi, é considerado o precursor da DFT e também busca resolver o problema quântico de muitos corpos. Essa é a primeira teoria a propor a determinação da estrutura eletrônica em termos da densidade, invés das funções de onda individuais de cada elétron. Esse modelo só é válido no limite de uma carga nuclear infinita e usá-lo para sistemas reais produz previsões quantitativas pobres.

Com a ideia inicial de Thomas-Fermi sobre o papel essencial da densidade eletrônica, Pierre Hohenberg e Walter Kohn (1964) demonstraram que a densidade eletrônica ${\displaystyle �(�,�,�)}$ determina completamente o problema quântico e pode ser usada para resolvê-lo de forma exata. Walter Kohn recebeu o prêmio Nobel de Química em 1998 por seu desenvolvimento da Teoria do Funcional da Densidade^[2].

Após seu desenvolvimento, a DFT tem sido utilizada para cálculos em física do estado sólido e, em muitos casos, os resultados concordam satisfatoriamente com os dados experimentais e os custos computacionais são relativamente baixos quando comparados ao método de Hartree-Fock. Entretanto, a DFT não era considerada precisa o suficiente para cálculos em química quântica até a década de 1990, quando os funcionais de troca e correlação foram refinados para prover um balanço entre custo computacional e precisão dos resultados.

Apesar das melhores aproximações para os funcionais de troca e correlação, ainda existem dificuldades em usar a DFT para descrever adequadamente as interações intermoleculares, especialmente as forças de van der Waals, as excitações de transferência de cargas, estados de transição, sistemas fortemente correlacionados e em cálculos do gap de energia em semicondutores.

Formalismo[editar | editar código-fonte]

Equação de Schrödinger[editar | editar código-fonte]

A Teoria do Funcional da Densidade busca resolver a equação de Schrödinger que descreve como o estado quântico de um sistema de muitos corpos evolui com o tempo^[3]. A equação abaixo é a equação de Schrödinger dependente do tempo em 3 dimensões ( ${\displaystyle \mathbf{�}}$ é o vetor posição que, em coordenadas cartesianas, pode ser escrito como ${\displaystyle \mathbf{�}=�\widehat{�}+�\widehat{�}+�\widehat{�}}$)

${\displaystyle �\hslash \frac{\mathrm{\partial }\mathrm{\Psi }(\mathbf{�},�)}{\mathrm{\partial }�}=-\frac{{\hslash }^2}{2�}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }(\mathbf{�},�)+�(\mathbf{�})\mathrm{\Psi }(\mathbf{�},�)}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Ao utilizar o método de separação de variáveis, obtém-se a equação de Schrödinger independente do tempo

${\displaystyle \left[-\frac{{\hslash }^2}{2�}{\mathrm{\nabla }}^2+�(\mathbf{�})\right]�(\mathbf{�})=��(\mathbf{�})}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

com o termo entre colchetes sendo o hamiltoniano, ${\displaystyle �}$ os valores de energia e ${\displaystyle �(\mathbf{�})}$ os autoestados do sistema independentes do tempo. Essa equação pode ser escrita como uma equação de autovalores e autovetores da forma

${\displaystyle ��(\mathbf{�})=��(\mathbf{�})}$.

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Aproximação de Born-Oppenheimer[editar | editar código-fonte]

Para a descrição quântica completa de um sistema atômico ou molecular, o hamiltoniano deve incluir tanto o movimento dos núcleos como o dos elétrons, bem como a interação entre todos os corpos. Assim, o hamiltoniano completo é dado por

${\displaystyle �=\widehat{{�}_{�}}+\widehat{{�}_{�}}+\widehat{{�}_{��}}+\widehat{{�}_{�}}+\widehat{{�}_{�}}}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

onde ${\displaystyle \widehat{{�}_{�}}}$ é a energia cinética dos núcleos, ${\displaystyle \widehat{{�}_{�}}}$ a energia cinética dos elétrons, ${\displaystyle \widehat{{�}_{��}}}$ a energia de atração elétron-núcleo, ${\displaystyle \widehat{{�}_{�}}}$ a interação repulsiva entre os elétrons e ${\displaystyle \widehat{{�}_{�}}}$ é a energia potencial de repulsão núcleo-núcleo^[1].

Ao considerar esse hamiltoniano, a equação de Schrödinger para um sistema de muitos corpos não possui solução analítica e aproximações são necessárias. A primeira aproximação é a de Born-Oppenheimer que desacopla o movimento dos elétrons ao dos núcleos. Essa aproximação é razoável, já que a massa dos núcleos é muito maior que a dos elétrons que se rearranjam rapidamente após qualquer alteração na posição dos núcleos^[4]. Com isso, a energia cinética dos núcleos se torna um termo constante em relação ao movimento dos elétrons, e o hamiltoniano pode ser escrito como

${\displaystyle �={�}_{���}+{\widehat{�}}_{�}}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

onde

${\displaystyle {�}_{���}={\widehat{�}}_{�}+{\widehat{�}}_{��}+{\widehat{�}}_{�}}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

é denominado hamiltoniano eletrônico. A equação de Schrödinger para todos os elétrons do sistema é

${\displaystyle {�}_{���}{�}_{�}=�{�}_{�}}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

onde ${\displaystyle {�}_{�}}$ é a função de onda total do sistema eletrônico e ${\displaystyle �}$ é a energia.

Em física, teoria de gauge na rede é o estudo de teorias de gauge em um espaço-tempo discreto numa rede.^[1] Embora a maioria das teorias de gauge não sejam exatamente solúveis, são de grande utilidade pois podem ser estudadas por simulações computacionais. Espera-se que, executando simulações em rede progressivamente maiores, o comportamento da teoria correspondente no contínuo seja recuperado.

Nas teorias de gauge na rede o espaço-tempo passa por uma rotação de Wick, resultando em um espaço euclidiano, descrito por uma rede hiperretangular com espaçamento igual a ${\displaystyle �}$ entre seus sítios. Os campos de quarks são somente definidos nos sítios da rede. Há problemas com a duplicação de férmion, apesar de tudo. Ver ação de Wilson-Ginsparg. Em vez de um vetor potencial, como no caso contínuo, os campos de gauge são definidas sobre as ligações do retículo e correpondem ao transporte paralelo ao longo da borda que assume valores no grupo de Lie em questão. Daí para simular a cromodinâmica quântica (QCD), para que o grupo de Lie é SU(3), existe uma matriz especial unitária 3 por 3 definida em cada ligação. As faces do retículo são chamadas plaquetas. A ação de Yang-Mills é reescrita usando laços de Wilson sobre plaquetas (isto é simplesmente um "caráter" valorado sobre a composição de variáveis de ligação em torno da plaqueta) de tal forma que o limite ${\displaystyle �\to 0}$ formalmente dá a ação de contínuo original.

Mais precisamente, nós temos um retículo com vértices, grafos e faces. Em teoria de retículo, a terminologia alternativa sítios, ligações e plaquetas para vértices, grafos e faces é frequentemente usada. Isto reflete a origem do campo em física do estado sólido. Enquanto que cada grafo não tem orientação intrínseca, para definir as variáveis gauge, nós atribuimos um elemento de um grupo de Lie compacto G a cada grafo uma orientação para ele chamada U. Basicamente, a atribuição para um grafo em uma dada orientação é o grupo inverso da atribuição do mesmo grafo na orientação oposta. Igualmente, as plaquetas não têm orientação intrínseca, mas lhe são dadas temporariamente uma orientação para propósitos computacionais. Dada uma representação irredutível fiel ρ de G, o retículo ação de Yang-Mills é

${\displaystyle �=\sum _{�}-\mathrm{\Re }\{{�}^{(�)}(�({�}_1)\cdots �({�}_{�}))\}}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

(a soma sobre todos os sítios do retículo do (componente real do) laço de Wilson). Aqui, χ é o "caráter" (traço) e o componente real é redundante se ρ passa a ser uma representação real ou pseudoreal. e₁, ..., e_n são os n grafos do laço de Wilson em sequência. O lado positivo sobre ser real é que se a orientação de um laço de Wilson é trocada, sua contribuição para a ação permanece inalterada.

Há muitas ações de Yang-Mills possíveis sobre o retículo, dependendo sobre qual laço de Wilson for usado a fórmula acima. A mais simples é a ação de Wilson, na qual o laço de Wilson é apenas uma plaqueta. Uma desvantagem da ação de Wilson é que a diferença entre ela e a ação contínua é proporcional ao espaçamento do retículo ${\displaystyle �}$. É possível usar laços de Wilson mais complexos onde esta diferença é proporcional a ${\displaystyle {�}^2}$, tornando as computações mais precisas. Estas são conhecidas como "ações melhoradas".

Para calcular uma grandeza (tal como a massa de uma partícula) em teoria de retículo gauge, ela deve ser calculada para cada valor possível do campo gauge sobre cada ligação, e então calculada sua média. Na prática isto é impossível. Em vez disso o método de Monte Carlo é usado para estimar a grandeza. Configurações aleatórias (valores de campos gauge) são geradas com probabilidades proporcionais a ${\displaystyle {�}^{-��}}$, onde ${\displaystyle �}$ é a ação de retículo para que a configuração e ${\displaystyle �}$ seja relacionada ao espaçamento do retículo ${\displaystyle �}$. A grandeza é calculada para cada configuração. O verdadeiro valor da grandeza é então encontrado por tomar-se a média do valor de um grande número de configurações. Para encontrar o valor da grandeza na teoria contínua isto é repetido para vários valores de ${\displaystyle �}$ e extrapolados a ${\displaystyle �=0}$.

Teoria do retículo gauge é uma ferramenta importante para cromodinâmica quântica (QCD). A versão discreta da QCD é chamada retículo QCD. O confinamento QCD tem sido apresentado em simulações de Monte Carlo. Confinamento a alta temperatura conduz à formação de um plasma de quarks-glúons.

Teoria do retículo gauge tem-se mostrado exatamente duplas de espuma de spin desde que somente laços de Wilson apareçam na ação sobre plaquetas.

A termodinâmica quântica é o estudo das relações entre duas teorias físicas independentes: termodinâmica e mecânica quântica.^[1][2] As duas teorias independentes tratam dos fenômenos físicos da luz e da matéria. Em 1905, Einstein argumentou que a exigência de consistência entre termodinâmica e eletromagnetismo^[3] nos leva à conclusão de que a luz é quantizada obtendo a relação ${\displaystyle �=ℎ�}$. Este artigo é o início da teoria quântica. Em algumas décadas, a teoria quântica se estabeleceu com um conjunto independente de regras.^[4] Atualmente, a termodinâmica quântica trata do surgimento de leis termodinâmicas da mecânica quântica. Ela difere da mecânica estatística quântica na ênfase em processos dinâmicos fora de equilíbrio.^[5] Além disso, há uma busca pela teoria para ser relevante para um único sistema quântico individual.^[6]

Visualização dinâmica[editar | editar código-fonte]

Existe uma conexão íntima da termodinâmica quântica com a teoria dos sistemas quânticos abertos.^[7] A mecânica quântica insere dinâmica na termodinâmica, dando uma base sólida à termodinâmica para tempo finito. A principal premissa é que o mundo inteiro é um grande sistema fechado e, portanto, a evolução do tempo é governada por uma transformação unitária gerada por um hamiltoniano global. Para o cenário combinado do banho do sistema, o Hamiltoniano global pode ser decomposto em:

${\displaystyle �={�}_{�}+{�}_{�}+{�}_{��}}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

onde ${\displaystyle {�}_{�}}$ é o sistema hamiltoniano, ${\displaystyle {�}_{�}}$ é o banho hamiltoniano e${\displaystyle {�}_{��}}$ é a interação sistema-banho. O estado do sistema é obtido a partir de um rastreamento parcial sobre o sistema combinado e o banho: ${\displaystyle {�}_{�}(�)=�{�}_{�}({�}_{��}(�))}$. Dinâmica reduzida é uma descrição equivalente da dinâmica do sistema, utilizando apenas operadores do sistema. Assumindo a propriedade de Markov para a dinâmica, a equação básica de movimento para um sistema quântico aberto é a equação de Lindblad (GKLS):^[8][9]

${\displaystyle {\dot{�}}_{�}=-\frac{�}{\hslash }[{�}_{�},{�}_{�}]+{�}_{�}({�}_{�})}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

${\displaystyle {�}_{�}}$ é uma parte hamiltoniana (Hermitiana) e ${\displaystyle {�}_{�}}$:

${\displaystyle {�}_{�}({�}_{�})=\sum _{�}\left({�}_{�}{�}_{�}{�}_{�}^{†}-\frac{1}{2}\left({�}_{�}{�}_{�}^{†}{�}_{�}+{�}_{�}^{†}{�}_{�}{�}_{�}\right)\right)}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

é a parte dissipativa que descreve implicitamente através dos operadores do sistema ${\displaystyle {�}_{�}}$ a influência do banho no sistema. A propriedade de Markov impõe que o sistema e o banho não estejam correlacionados o tempo todo ${\displaystyle {�}_{��}={�}_{�}\otimes {�}_{�}}$. A equação L-GKS é unidirecional e conduz qualquer estado inicial ${\displaystyle {�}_{�}}$ para uma solução em estado estacionário que é invariável da equação do movimento ${\displaystyle {\dot{�}}_{�}(�\to \mathrm{\infty })=0}$.^[7]

A imagem de Heisenberg fornece uma ligação direta para observáveis termodinâmicos quânticos. A dinâmica de um sistema observável representado pelo operador, ${\displaystyle �}$, tem a forma:

${\displaystyle \frac{��}{��}=\frac{�}{\hslash }[{�}_{�},�]+{�}_{�}^{\ast }(�)+\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }�}}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

onde a possibilidade de que o operador, ${\displaystyle �}$ é explicitamente dependente do tempo, está incluído.

Na mecânica quântica, e especialmente no processamento quântico de informações, a troca de entropia de uma operação quântica ${\displaystyle �}$, atuando na matriz densidade ${\displaystyle {�}_{�}}$ de um sistema ${\displaystyle �}$ é definida como

${\displaystyle �(�,�)\equiv �[{�}^{\prime },{�}^{\prime }]=�({�}_{��}^{\prime })}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

onde ${\displaystyle �({�}_{��}^{\prime })}$é a entropia de von Neumann do sistema ${\displaystyle �}$ e um sistema auxiliar purificador fictício ${\displaystyle �}$ depois de serem operados por ${\displaystyle �}$.^[1] Aqui,

${\displaystyle {�}_{��}=|��⟩⟨��|,}$

${\displaystyle {\mathrm{T}\mathrm{r}}_{�}[{�}_{��}]={�}_{�},}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

e

${\displaystyle {�}_{��}^{\prime }=�[{�}_{��}],}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

onde na equação acima ${\displaystyle �}$ atua em ${\displaystyle �}$ deixando ${\displaystyle �}$ inalterado.^[2]